5 de noviembre del 2015
Clases de Curvaturas
Curvatura de Flexión
Se la conoce simplemente como curvatura. Se define como la razón instantánea de cambio de dirección de los puntos de de la curva C con respecto a la longitud de arco.
Curvatura de Torsión
Indica el alejamiento o acercamiento de la curva la plano osculador. Se define como el limite del ángulo generado por el vector unitario binomial al pasar de un punto a otros sobre la curva alabeada.
La curvatura de torsión y flexión también se pueden calcular
FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES:
Sea: f: R^n R
(X1, x2….xn) z=f(x1, x2….xn)
ANÁLISIS DE DOMINIO:
· F(x,y)=z la gráfica en R^3, se obtiene una superficie.
· El dominio de la función f(x,y) será una región del plano xoy o todo el plano xoy
· El rango de f(x,y), es un conjunto de escalares de z Є R.
GRÁFICA
Entonces tenemos como dominio de la función:
Dom f: (x1,x2,…xn) Є R^n / w=f(x1,x2,…..xn)
Ejemplo:
f(x,y) = x*Ln(y^2 - x)
Entonces: y^2 – x > 0
x > y^2
Por lo tanto: domf: (x,y) / x < y^2
9 de Noviembre del 2015
Curvas de Nivel
Una curva de nivel es aquella línea que en un mapa unen todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura.
Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=k, donde k es una constante en un espacio de f.
Si f(x,y,z)=K entonces se generan las superficies de nivel.
Ejemplo
1) si z = T(x,y) es la temperatura en cada punto de una región del plano, las curvas de nivel corresponde a puntos de igual temperatura las curvas se llaman ISOTERMAS.
2) si z = P(x,y) es el potencial eléctrico de cada punto de una región del plano, las curvas de nivel corresponden a puntos de igual potencial. En este caso las curvas se llaman EQUIPOTENCIALES.
3) si T(x,y) = x + y^2 -1 representa temperatura de cada punto de una región del plano, las curvas isotermas son T(x,y) = C , es decir.
x + y^2 -1 = C
12 de Noviembre del 2015
Límites y Continuidad
Sea f(x,y) = z una función de dos variables, se dice que es continua en (Xo,Yo), si cumple:
Lim f(x, y) = f (Xo, Yo)
(X, y)— (0,0)
Para saber si el límite existe realizamos lo siguiente:
Si: І f(x,y) - L І < Є
Entonces: І (x,y) – (x1,y1) І < δ
√(〖(X-X1)〗^2+〖(Y-Y1)〗^2 ) < δ
〖(X-X1)〗^2+〖(Y-Y1)〗^2 < δ^2
Entonces podemos decir que el limite existente es el mismo por todos los caminos de aproximación por todos lo puntos infinitos del circulo.
Se puede determinar la existencia del limite por medio de transformación a coordenadas polares:
CONTINUIDAD
Se dice que f(x,y) es continua en (a,b) si se cumple que:
O también si:
Si no se cumple con alguna de las condiciones entonces se dice que f(x,y) es discontinua en (a,b) y puede ser:
- Discontinua evitable se puede redefinir
17 de Noviembre del 2015
DERIVADAS PARCIALES
En tercera dimensión
donde x,y son variables independientes
z es variable dependiente
- Cuando derivamos parcialmente respecto a x, la variable y se toma como constante
- Cuando derivamos parcialmente respecto a y, la variable x se toma como constante
- Se aplican todas las reglas de derivación
Interpretación geométrica de las derivadas parciales:
Interpretación física de la derivadas parciales:
Las derivadas parciales de z = f (x,y) representan las Razones de Cambio de la variable "z", cuando "x" varia manteniendo fija "y" o viceversa.
Se puede hablar de tasas o índices de cambio.
20 de Noviembre del 2015
Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada 
para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: 
.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación 
, a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término 
, como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común 
,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Una vez que hemos calculado alguna derivada parcial de:
podemos volver a calcular las derivadas parciales de estas funciones (siempre que existan). De esta
manera a partir de
f (x, y)
calculamos las derivadas primeras de f,
.bmp)
y a partir de estas, calculando sus derivadas parciales obtenemos las derivadas parciales de orden
2 o derivadas parciales segundas de f,
Para simplificar la notación llamaremos:
En general, la derivada de orden m
25 de Noviembre del 2015
DIFERENCIALES
Incrementos
El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
o bien
Si se da un incremento Dx a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x = x0 + Dx), la función y = f (x) se verá incrementada en Dy = f (x0 +Dx) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente
recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x0 a x = x0 + Dx.
Pendiente
[Si h ¹ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es
Figura 6.
Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a))debería ser
Figura 7.
f: R^2 R
(x,y) Z= f: (x, y)
INCREMENTOS PARCIALES
ΔZx = f (x, y + Δx) - f (x , y)
ΔZy = f (x, y + Δy) - f (x , y)
INCREMENTO TOTAL
ΔZ = f (x + Δx, y + Δy) - f (x , y)
OJO:
ΔZ ≠ ΔZx + ΔZy
Se puede concluir que :
dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy
dw = ∂w/∂x dx + ∂w/∂y dy + ∂w/∂z dz
Regla de la Cadena
26 de Noviembre del 2015
Plano tangente y recta normal a una superficie
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.
Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto 
de la superficie viene definido por la ecuación:
y la recta normal por:
Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto 
viene definida por:
y la ecuación de la recta normal:
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.
Ejemplo
Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación
en el punto P(1,2,3).
Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
; 
En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
;
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:
, o bien, simplificando 
y la ecuación de la recta normal es:
30 de Noviembre del 2015
DERIVADA DIRECCIONAL
Gradiente
Gradiente Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto. Por tanto, el gradiente de una función f (x , y,z) en el punto (x0, y0, z0) es:
Derivada Direccional
Cada vector del espacio ordinario tiene un módulo y una dirección. Cuando se fija un vector dr =( dx,dy,dz) = dxi + dyj + dzk dando valores concretos a dx,dy,dz , se fija su módulo y su dirección. Cada valor de la diferencial de la función f en un punto ( x, y,z )es el producto escalar de su gradiente en ese punto por un vector dr, es decir,
Referencias
http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables
http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm
http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3a2.html
.bmp)
.bmp)
.bmp)
.bmp){kind=small}
