7 de Enero del 2016

11 de Enero el 2016

18 de Enero del 2016

Campos Vectoriales

Definición de campo vectorial

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal.

, en donde

representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y

el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial

, dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.

Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace usando campos vectoriales.

Otros ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.

El gradiente de un campo escalar, constituye un ejemplo adicional de campo vectorial, dado que la magnitud y dirección del gradiente de un campo escalar es una función de las coordenadas

Campos Vectoriales Conservativos o Campos Vectoriales Gradientes

Se dice que un campo vectorial

es conservativo si la circulación del campo a lo largo de una curva es independiente del camino, solo depende de los puntos inicial y final de la circulación.

Los campos conservativos se pueden expresar como gradiente de una función escalar, es decir existe una función escalar de punto V(x,y,z) que cumple:

por lo que el cálculo de la circulación se convierte en:

La circulación de un campo conservativo por una línea cerrada es por tanto cero:

Si un campo vectorial es conservativo cumple además estas condiciones:

; ;

18 de Enero del 2016

Divergencia y Rotacional de Campos Vectoriales

CRITERIOS PARA CAMPOS CONSERVATIVOS EN EL ESPACIOSupongamos que M, N y P primeras derivadas parciales continuas en una bol...

21 de Enero del 2016

Integral de Área

La integral de área de una función vectorial E, se define como la integral sobre una superficie del producto escalar de E, por el elemento de área dA. La dirección del elemento de área es perpendicular al área en ese punto de la superficie.

La integral de superficie dirigida hacia fuera sobre una superficie cerrada completa se denota por

Ejemplo

28 de Enero del 2016

1 de Febrero del 2016

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea

Supongamos que f : R³ à R es de clase C¹ y que c : [a , b] à R³ es una trayectoria C¹ a trozos.

Entonces:

Ejemplo:

Evaluar $\int_{c}^{ }(2+x^2y)ds$ , donde C es la mitad superior de un círculo unitario x^2+y^2=1.

Con el objeto de aplicar la ecuación $\int_{c}^{ }f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+\frac{dy}{dt})^2}dt$ primero se necesita ecuaciones parametricas que representen a C. Recuerde que el círculo unitario se puede parametrizar por medio de las ecuaciones:
x=cost

y la mitad superior del círculo se describe en el intervalo del parámetro $0\leq t\leq \pi$ . Por lo tanto, la ecuacion anterior proporcionada:

$\int_{c}^{ }(2+x^2y)ds = \int_{0}^{\pi}(2+cos^2tsent)\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+\frac{dy}{dt})^2}dt$ $= \int_{0}^{\pi}(2+cos^2tsent)\sqrt{sen^2t+cos^2t}$
$= \int_{0}^{\pi}(2+cos^2tsent)= 2\pi + \frac{2}{3}$

Conservación de la Energía

4 de Febrero del 2016

Teorema Green

El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva

cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana

limitada por

.
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes.

Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.

Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.

Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:

$\int_{C} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left[\displaystyle\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}-\displaystyle\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\right]dA$

Ejemplo:

Utilice el Teorema de Green para evaluar la Integral de Línea a lo largo de la curva dada.

$\oint (y+ e^{\sqrt{x}})dx + (2x + \cos y^{2} )dy$ , donde C es la frontera de la región limitada por la parábola y=x^2,x=y^2

Primero graficamos la región y que deseamos integrar y describimos su dominio.

$D=\left \{ (x,y)/0\leqx\leq1;x^{2}\leqy\leq\sqrt{x} \right \}$

Luego se procede a determinar las derivadas parciales.

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 2,$ y $\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 1$

Ahora aplicando el Teorema de Green:

$\iint_{D}^{.} (2-1)dA = \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{x}} dydx = 1/3$

Nótese que la integral obtenida por medio del Teorema De Green es mas sencilla.

Referencias:

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Campo%20vectorial.htm

http://personales.upv.es/jquiles/prffi/campos/ayuda/hlpconservativo.htm

http://es.slideshare.net/emy20342/campos-vectoriales-campos-conservativos

http://es.slideshare.net/emy20342/rotacional-de-un-campo-vectorial-16248514

http://es.slideshare.net/rodolfoetia/divergencia-y-rotacional?related=1

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/intare.html

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_de_l%C3%ADnea

http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo3/l3_7.htm

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_de_Green

7 de diciembre del 2015

Máximos y Mínimos o Puntos Extremos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS:

Ejemplo

Punto de silla
Considerando la superficie definida, conocida como paraboloide hiperbólico.En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0. Sin
embargo, la función fno tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un punto silla de la superficie.

Criterio de la Segunda Derivada

11 de diciembre del 2015

MÁXIMOS Y MÍNIMOS Absolutos:

Toda función en una región acotada diferenciable y cerrada alcanza su valor máximo ó mínimo, ó En un punto estacionario (función no aumenta ni disminuye por lo tanto las derivadas son = 0) ó en un punto de la frontera de la región.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS Condicionales:

Se denomina extremo condicionado de una función f (x,y), al valor máximo o mínimo de esta función alcanzado con la condición (restricción) de que las variables independientes estén relacionados con una ecuación de enlace: g (x,y) = 0.

Para hallar los extremos condicionados de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)= 0 , se forma la Función de Lagrange.

F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

donde: λ : Multiplicador de Lagrange

-Se procede a hallar los puntos extremos para la función de Lagrange.

-Si tenemos: U = f(x,y,z) ; g1(x,y,x)= 0 ; g2(x,y,z)= 0

F(x,y,z,λ1,λ2) = f(x,y,z) + λ1g1(x,y,z) + λ2g2(x,y,z)

Ejemplo